Построение модели логической схемы 3 х переменных. Построение функциональных логических схем по заданным функциям. Алгоритм построения логических схем
Почему необходимо уметь строить логические схемы?
Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнить арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.
Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.
Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.
Алгоритм построения логических схем :
1) Определить число логических переменных.
2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.
3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.
4) Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.
|
Пример 10 Составить логическую схему для логического выражения: F =¬ X v Y & X .1) Две переменные – X и Y . 2) Две логические операции: 1 3 2 ¬ X v Y & X . 3) Строим схему, соединяя вентили в порядке выполнения логических операций: Пример 11 Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X & Y v¬ (Y v X ). Вычислить значения выражения для X =1, Y =0. 1) Переменных две: X и Y . 2) Логических операций четыре: конъюнкция, две дизъюнкции и отрицание. Определяем порядок выполнения операций: 1 4 3 2 X & Y v ¬ (Y v X ). 3) Схему строим слева направо в соответствии с порядком выполнения логических операций: 4) Вычислим значение выражения: F =1&0 v¬ (0 v 1)=0. |
Упражнение 15
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению, и найдите значение логического выражения:
1)
F=A v B& ¬ C, если A=1, B=1, C=1 .2) F = ¬ (A v B&C), если A=0, B=1, C=1 .
Пример решение логических задач средствами алгебры логики
Логические схемы
Логическая схема – это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое . Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.
Две схемы называются равносильными , если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).
Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.
При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.
СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:
- составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
- упрощению этой функции;
- построению соответствующей схемы.
АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:
- определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
- получению упрощённой формулы.
Задача : Составить таблицу истинности для данной формулы: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).
Решение : В таблицу истинности данной формулы полезно включить таблицы истинности промежуточных функций:
| xyz | x ~ z | x y | y z | (x y) ~ (y z) | (x~ z)|((x y) ~ (yz) |
Методические указания для выполнения практического задания №2. «Алгебра логики». Построение таблиц истинности.
Цель работы : Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе таблиц истинности.
Задание:
1. В приложении 2 выбрать вариант задания и составить таблицу истинности .
2. Выполнить задание, используя пример решение логических задач средствами алгебры логики.
Задача :
Построить логическую схему по заданному булевому выражению:
F =`BA + B`A + C`B.
Решение:
Как правило, построение и расчет любой схемы осуществляется начиная с ее выхода.
Первый этап : выполняется логическое сложение, логическую операцию ИЛИ, считая входными переменными функции`B A, B`A и C`B:
Второй этап : к входам элемента ИЛИ подключаются логические элементы И, входными переменными которых являются уже A, B, C и их инверсии:
Третий этап : для получения инверсий`A и`B на соответствующих входах ставят инверторы:
Данное построение основано на следующей особенности, – поскольку значениями логических функций могут быть только нули и единицы, то любые логические функции могут быть представлены как аргументы других более сложных функций. Таким образом, построение логической схемы осуществляется с выхода ко входу.
Методические указания для выполнения практического задания №3. «Алгебра логики». Построение логических схем
Цель работы : Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе простейших логических схем.
Задание:
1. В приложении 2 выбрать вариант задания и построить логическую схему .
2. Выполнить задание, используя пример построения логических схем.
3. Оформить работу в тетради для практических работ.
4. Результат работы предъявить преподавателю.
5. Защитить выполненную работу у преподавателя.
Приложение 2. Таблица вариантов заданий
| Составить таблицу истинности и логическую схему для данных операций | |
| Вариант | Операции |
4. Индивидуальное задание. Модуль 1. «Построение логических схем по заданным булевым выражениям»
Задания к ИДЗ:
- В приложении 3 выбрать вариант индивидуального задания.
- Выполнить задание, пользуясь теоретическими сведениями
- Проверить логическую схему у тьютора.
- Оформить ИДЗ в формате А4, титульный лист по образцу Приложение 4.
- Результат работы предъявить преподавателю.
- Защитить выполненную работу у преподавателя.
Приложение 3. Таблица вариантов индивидуального задания
| Варианты | Составить таблицу истинности и логическую схему по формулам |
Приложение 4. Титульный лист ИДЗ
Конспект урока
«Построение логических схем с помощью базовых логических элементов»
10 класс
Тип урока: лекция, самостоятельная работа.
Оборудование: проектор, карточки с заданиями.
Формы работы: коллективная, индивидуальная.
Продолжительность урока: 45 мин.
Цели урока:
Образовательные:
научиться строить логические схемы для логических функций с помощью основных базовых логических элементов;
научиться выписывать соответствующую логическую функцию из логической схемы.
Воспитательные:
привитие навыков самостоятельности в работе, воспитание аккуратности, дисциплинированности.
Развивающие:
развитие внимания, мышления, памяти учащихся.
Ход урока:
1. Организационный момент (1 мин).
2. Проверка пройденного материала (5 мин).
Фронтальный опрос.
Перечислите основные логические операции.
Что такое логическое умножение?
Что такое логическое сложение?
Что такое инверсия?
Что такое таблица истинности?
Что такое сумматор?
Что такое полусумматор?
3. Изучение нового материала (20 мин).
Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинаций трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из «кирпичиков».
Логические элементы компьютера оперируют сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.
На доске приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).
Логический элемент «И»:
Логический элемент «ИЛИ»:
Логический элемент «НЕ»:
Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.
Пример 1.
построить логическую схему.
Наше построение схемы, мы начнем с логической операции, которая должна выполнятся последней. В нашем случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы будут подаваться с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).
Пример 2. Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:
Решение:
4. Закрепление нового материала (15 мин).
Для закрепления материала учащимся раздаются карточки на два варианта для самостоятельной работы.
Вариант 1.
Решение:
Решение:
Вариант 2.
1. По заданной логической функции
построить логическую схему и таблицу истинности.
Решение:
2. Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:
Решение:
5. Постановка домашнего задания. (3 мин).
По заданной логической функции
построить логическую схему и таблицу истинности.
6. Подведение итогов урока. (1 мин).
Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее. Оценка работы класса и отдельных учащихся, аргументация выставления отметок, замечания по уроку.
Литература, эор:
Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов, Н. Д. Угринович – 2007г.;
Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений, Н. Д. Угринович, Л. Л. Босова, Н. И. Михайлова – 2007г.
Цели урока:
Образовательные:
- закрепить у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера;
- закрепить навыки построения логических схем.
Развивающие:
- формировать развитие алгоритмического мышления;
- развить конструкторские умения;
- продолжать способствовать развитию ИКТ - компетентности;
Воспитательные:
- продолжить формирование познавательного интереса к предмету информатика;
- воспитывать личностные качества:
- активность,
- самостоятельность,
- аккуратность в работе;
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
- основные базовые элементы логических схем;
- правила составления логических схем.
Учащиеся должны уметь:
- составлять логические схемы.
Тип урока: урок закрепления изученного материала
Вид урока: комбинированный
Методы организации учебной деятельности:
- фронтальная;
- индивидуальная;
Программно-дидактическое обеспечение:
- ПК, SMART Board, карточки с индивидуальным домашним заданием.
Урок разработан с помощью программы Macromedia Flash .
Ход урока
I. Постановка целей урока.
Добрый день!
Сегодня мы продолжаем изучение темы "Построение логических схем".
Приготовьте раздаточный материал "Логические основы ЭВМ. Построение логических схем" Приложение 1
Вопрос учителя. Назовите основные логические элементы. Какой логический элемент соответствует логической операции И, ИЛИ, НЕ?
Ответ учащихся. Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Основные логические элементы конъюнктор (соответствует логическому умножению), дизъюнктор (соответствует логическому сложению), инвертор (соответствует логическому отрицанию).
Вопрос учителя. По каким правилам логические элементы преобразуют входные сигналы. Рассмотрим элемент И. В каком случае на выходе будет ток (сигнал равный 1).
Ответ учащихся. На первом входе есть ток (1, истина), на втором есть (1, истина), на выходе ток идет (1, истина).
Вопрос учителя. На первом входе есть ток, на втором нет, однако на выходе ток идет. На входах тока нет и на выходе нет. Какую логическую операцию реализует данный элемент?
Ответ учащихся. Элемент ИЛИ - дизъюнктор.
Вопрос учителя. Рассмотрим логический элемент НЕ. В каком случае на выходе не будет тока (сигнал равный 0)?
Ответ учащихся. На входе есть ток, сигнал равен 1.
Вопрос учителя. В чем отличие логической схемы от логического элемента?
Ответ учащихся. Логические схемы состоят из логических элементов, осуществляющих логические операции.
Проанализируем схему и определим сигнал на выходе.
II. Закрепление изученного материала.
Почему необходимо уметь строить логические схемы?
Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом), становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве "кирпичиков" используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.
Дома вам необходимо было построить логические схемы, соответствующие логическим выражениям.
Вопрос учителя. Каков алгоритм построение логических схем?
Ответ учащихся. Алгоритм построение логических схем:
Определить число логических переменных.
Определить количество базовых логических операций и их порядок.
Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей элемент (вентиль).
Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.
Проверка домашнего задания Приложение 1 . Домашнее задание. Часть 1
Построить логическую схему для логического выражения:
Построить логическую схему для логического выражения:
Построить логическую схему для логического выражения:
Построить логическую схему для логического выражения:
Построить логическую схему для логического выражения:
Алгебра логики дала конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. Проще, и быстрее изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей её формулы, чем создавать реальное техническое устройство.
Таким образом, цель нашего следующего урока - изучить законы алгебры логики.
IV. Домашнее задание. Часть 2
V. Практическая работа.
Программа - тренажер "Построение логических схем"
www.Kpolyakov.narod.ru Программа "Logic",
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.
Инструкция
. При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:
Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .
Правила ввода логической функции
- Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
- Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
- Максимальное количество переменных равно 10 .
Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:
- словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
- описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
- описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
3) полученное произведение логически суммируется.
Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
3) логически перемножаются полученные суммы.
Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.
Рисунок1- Схема логического устройства
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.
Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)
Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:- если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
- если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
| A | не А |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.
Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)
Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.
Операция И - логическое умножение (конъюнкция)
Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
| A | B | А и B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.
Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:
| A | B | А → B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)
Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.Таблица истинности:
| A | B | А↔B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)
Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.Таблица истинности:
| A | B | А⊕B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Приоритет логических операций
- Действия в скобках
- Инверсия
- Конъюнкция (&)
- Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
- Импликация (→)
- Эквивалентность (↔)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:- Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
- Все логические слагаемые формулы различны.
- Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
- Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:- Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
- Все элементарные дизъюнкции различны.
- Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
- Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.
