Интегрирование через замену переменной. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки). Примеры решения интегралов способом подстановки
Тип занятия: изучение нового материала.
Учебно-воспитательные задачи:
- научить учащихся применять метод интегрирования подстановкой;
- продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций;
- продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач;
- воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений;
- напоминать, что только осознанное применение алгоритмов вычисления неопределенного интеграла позволит учащимся качественно усвоить изучаемую тему.
Обеспечение занятия:
- таблица основных формул интегрирования;
- карточки-задания для проверочной работы.
Студент должен знать: алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.
Студент должен уметь: применять полученные знания к вычислению неопределенных интегралов.
Мотивация познавательной деятельности студентов.
Преподаватель сообщает, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.
Ход занятия
I . Организационный момент.
II . Проверка домашнего задания.
Фронтальный опрос:
III . Повторение опорных знаний учащихся.
1) Повторить таблицу основных формул интегрирования.
2) Повторить в чем заключается метод непосредственного интегрирования.
Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
IV . Изучение нового материала.
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула
Рассмотрим этот метод.
Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:
- Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
- Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
- Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
- Производят замену под интегралом.
- Находят полученный интеграл.
- В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.
Рассмотрим примеры.
Примеры. Найти интегралы:
1) )4
Введем подстановку:
Дифференцируя это равенство, имеем:
V . Применение знаний при решении типовых примеров.
VI . Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Вариант 1
Найти интегралы:
Вариант 2
Найти интегралы:
VII . Подведение итогов занятия.
VIII . Домашнее задание:
Г.Н. Яковлев, часть 1, §13.2, п.2, №13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)
2. Замена переменной (метод подстановки)
Суть метода подстановки заключается в том, что в результате введения новой переменной заданный сложный интеграл приводится к табличному или такому, прием вычисления которого известен.
Пусть требуется вычислить интеграл . Существует два правила подстановки:
Общего правила
подбора функции
не
существует, но есть несколько типов
подынтегральных функций, для которых
имеются рекомендации по подбору функции
.
Замену переменных можно применять несколько раз, пока не будет получен результат.
Пример 1. Найти интегралы:
а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Решение.
а)
Среди
табличных интегралов нет содержащих
радикалы различных степеней, поэтому
«хочется избавиться», прежде всего, от
и
.
Для этого потребуется заменить х
таким выражением, из которого легко
извлекались бы оба корня:
б)
Типичный
пример, когда возникает желание
«избавиться» от показательной функции
.
Но в данном случае удобнее за новую
переменную взять всё выражение, стоящее
в знаменателе дроби:
;
в)
Замечая,
что в числителе стоит произведение
,
являющееся частью дифференциала
подкоренного выражения, заменим все
это выражение новой переменной:
;
г) Здесь, как и в случае а), хочется избавиться от радикала. Но поскольку, в отличие от пункта а), здесь только один корень, то именно его и заменим новой переменной:
д)
Здесь
выбору замены способствуют два
обстоятельства: с одной стороны
интуитивное желание избавиться от
логарифмов, с другой стороны – наличие
выражения
,
являющегося дифференциалом функции
.
Но так же как и в предыдущих примерах,
в замену лучше включить и сопутствующие
логарифму константы:
е) Здесь, так же
как и в предыдущем примере, интуитивное
желание избавиться от громоздкого
показателя в подынтегральной функции
согласуется с известным фактом:
(формула 8 таблицы 3). Поэтому имеем:
.
Замена переменных для некоторых классов функций
Рассмотрим некоторые классы функций, для которых могут быть рекомендованы определенные подстановки.
Таблица 4. Рациональные функции
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
1.1.
|
|
1.2.
|
|
1.3.
|
Выделение полного квадрата: |
1.4.
|
Рекуррентная формула |
Трансцендентные функции:
1.5.
– подстановка t
= e
x
;
1.6.
–
подстановка t
= log a
x
.
Пример 2. Найти интегралы от рациональных функций:
а)
;
б)
;
в)
;
д)
.
Решение.
а) Этот интеграл нет необходимости вычислять с помощью замены переменных, здесь проще использовать подведение под знак дифференциала:
б) Аналогично, используем подведение под знак дифференциала:
;
в) Перед нами интеграл типа 1.3 таблицы 4, воспользуемся соответствующими рекомендациями:
д) Аналогично предыдущему примеру:
Пример 3. Найти интегралы
а)
;
б)
.
Решение.
б)
Подынтегральное
выражение содержит логарифм, поэтому
воспользуемся рекомендацией 1.6. Только
в данном случае удобнее заменить не
просто функцию
,
а все подкоренное выражение:
.
Таблица 6. Тригонометрические функции (R
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
3.1.
|
Универсальная подстановка ,
,
|
3.1.1.
|
Подстановка |
3.1.2.
|
Подстановка . |
3.1.3.
.
(т.е.
есть только четные степени функций
|
Подстановка |
3.2.
|
Если
если
если
если
,
|
3.3.
, |
Использовать формулы |
Пример 4. Найти интегралы:
а)
;
б)
; в)
;
д)
.
Решение.
а) Здесь интегрируем тригонометрическую функцию. Применим универсальную подстановку (таблица 6, 3.1):
.
б) Здесь также применим универсальную подстановку:
.
Заметим, что в рассмотренном интеграле замену переменных пришлось применить дважды.
в) Вычисляем аналогично:
д) Рассмотрим два приема вычисления данного интеграла.
1)
.
Как видим, получили разные функции-первообразные. Это не означает, что один из использованных приемов дает неверный результат. Дело в том, что используя известные тригонометрические тождества, связывающие тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла, имеем
Таким образом, найденные первообразные совпадают друг с другом.
Пример 5. Найти интегралы:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а) В
этом интеграле тоже можно применить
универсальную подстановку
,
но поскольку входящий в подынтегральную
функцию косинус – в четной степени, то
рациональнее использовать рекомендации
пункта 3.1.3 таблицы 6:
б) Сначала приведем все тригонометрические функции, входящие в подынтегральное выражение к одному аргументу:
В полученном интеграле можно применить универсальную подстановку, но замечаем, что подынтегральная функция не меняет знак при изменении знаков синуса и косинуса:
Следовательно,
функция обладает свойствами, указанными
в пункте 3.1.3 таблицы 6, поэтому наиболее
удобной будет подстановка
.
Имеем:
в) Если в заданной подынтегральной функции поменять знак у косинуса, то вся функция поменяет знак:
.
Значит, подынтегральная
функция обладает свойством, описанным
в пункте 3.1.2. Следовательно, рационально
воспользоваться подстановкой
.
Но прежде, как и в предыдущем примере,
преобразуем подынтегральную функцию:
г) Если
в заданной подынтегральной функции
поменять знак у синуса, то вся функция
поменяет знак, значит, имеем случай,
описанный в пункте 3.1.1 таблицы 6, поэтому
новой переменной нужно обозначить
функцию
.
Но поскольку в подынтегральном выражении
не наблюдается ни наличия функции
,
ни ее дифференциала, предварительно
преобразуем:
Пример 6. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
г)
.
Решение.
а)
Данный интеграл относится к интегралам
вида 3.2 таблицы 6. Поскольку синус в
нечетной степени, то согласно рекомендациям,
удобно заменить функцию
.
Но сначала преобразуем подынтегральную
функцию:
.
б)
Данный интеграл относится к тому
же типу, что и предыдущий, но здесь
функции
и
имеют четные степени, поэтому нужно
применить формулы понижения степени:
,
.
Получим:
=
в) Преобразуем функцию:
г) Согласно
рекомендациям 3.1.3 таблицы 6, в данном
интеграле удобно сделать замену
.
Получим:
Таблица 5. Иррациональные функции (R – рациональная функция своих аргументов)
Вид интеграла |
Способ интегрирования |
Подстановка
|
|
Подстановка
…, |
|
2.3.
|
Подстановка,
где k – общий знаменатель дробей-показателей …, |
2.4.
|
Подстановка
|
2.5.
|
Подстановка
|
2.6.
|
Подстановка
|
2.7.
|
Подстановка
|
2.8. а) р – целое (подстановка х = t k , где k – общий знаменатель дробей т и п ); б)
в)
|
Пример 7. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а) Данный интеграл можно отнести к интегралам вида 2.1, поэтому выполним соответствующую подстановку. Напомним, что смысл замены в этом случае состоит в том, чтобы избавиться от иррациональности. А это означает, что заменить следует подкоренное выражение такой степенью новой переменной, из которой извлекались бы все имеющиеся под интегралом корни. В нашем случае это, очевидно :
Под интегралом получилась неправильная рациональная дробь. Интегрирование таких дробей предполагает, прежде всего, выделение целой части. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
Тогда получаем
,
отсюда
Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.
Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:
То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.
Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.
Вычислить интегралы методом замены переменой:
Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся :
После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:
Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:
Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:
(Здесь (ln(cosx))’ — .)
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом , где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.
Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:
– Подведение функции под знак дифференциала
;
– Собственно замена переменной
.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.
Начнем с более простого случая.
Подведение функции под знак дифференциала
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений
мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:
То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.
Пример 1
Выполнить проверку.
Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
Подводим функцию под знак дифференциала:
Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:
Фактически и – это запись одного и того же.
Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?
Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ .
Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на ». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:
Теперь можно пользоваться табличной формулой :
Готово
Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .
Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила .
Пример 2
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .
Подводим функцию под знак дифференциала:
Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :
Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:
В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:
Строго говоря, решение должно выглядеть так:
Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.
Пример 5
Найти неопределенный интеграл.
В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой
.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.
Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от
.
Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.
Так как , то
После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :
В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов , естественно, справедлива и для переменной ).
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .
Готово.
Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:
“
Проведем замену:
“
Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.
При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.
Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.
А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче .
Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.
Пример 6
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл .
Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:
Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении .
Пример 7
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Замена:
Осталось выяснить, во что превратится
Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Пример 10
Найти неопределенный интеграл.
Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.
Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)
В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.
В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
СодержаниеСм. также:
Таблица неопределенных интегралов
Основные элементарные функции и их свойства
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx
равен произведению производной x
по t
на дифференциал dt
.
Тогда
.
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x)
.
Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x)
- это производная t
по x
,
то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)
,
где x
- это функция от t
.
(2)
,
где t
- это функция от x
.
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x
можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x
,
дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2)
. Положим t = x 2
+ x
.
Тогда
;
;
.
Примеры интегрирования заменой переменной
1)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin
x)′ = cos
x
.
Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin
x
.
2)
Вычислим интеграл
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg
x
.
3)
Проинтегрируем
.
Замечаем, что .
Тогда
.
Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1
.
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b
,
где a
и b
- постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
Примеры интегрирования линейными подстановками
A)
Вычислить интеграл
.
Решение.
.
B)
Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2
- это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
D)
Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.